گراف توان گروه های متناهی

یکی از زیباترین شاخه ها در نظریه گروه های متناهی, رابطه گروه های متناهی و گراف هاست. با استفاده از ساختار گروه های متناهی می توان گراف های متنوعی من جمله گراف جابجایی، گراف فولرنی و گراف توان را روی مجموعه عناصر یک گروه تعریف کرده و سپس نتایج جالبی هم در نظریه گراف ها و هم در نظریه گروه های متناهی می توان به دست آورد‎.‎ یک گروه دارای یک ساختار جبری است. یک مجموعه با یک عملگر دوتایی که شرکت پذیر, دارای عضو همانی و قانون معکوس در مورد آن برقرار است. ‎یک گراف یک ساختار ترکیبی دارد : یک مجموعه از راس ها که برای تعدادی از آنها, هر دوتای آنها به وسیله یک یال (جهت دار یا غیرجهت دار) به هم متصل می شوند. لذا مطالعه درباره جبر و ترکیبات شدنی است‎.‎ گروه ها دارای ساختار محکم تری نسبت به ساختار گراف ها می باشند. به عنوان مثال تنها ‎5‎ گروه متفاوت از مرتبه ‎8 وجود دارد درحالی که با ‎8 راس متمایز ‎12346 گراف متفاوت می توان رسم کرد. با این وجود نزدیکی زیادی بین گروه ها و گراف ها وجود دارد. از طرف دیگر هر گراف شامل یک گروه از خودریختی ها می شود, همچنین می توانیم یک گروه جایگشتی ‎ gرا به وسیله گراف ها مورد مطالعه قرار دهیم.در واقع گروه ‎g‎ مشمول در گروه خودریختی های یک گراف می باشد. به عنوان مثال تعدادی از گروه های ساده توسط گروه خودریختی های گراف ها ساخته شده اند‎.‎ ‎گراف های توان از نوع جهت دار یا بدون جهت می باشند. در حالتی که گراف توان جهت دار باشد یک کمان از a به ‎b‎ وجود دارد هرگاه b‎ توانی از ‎a‎ باشد. در گراف توان بدون جهت یک یال بین ‎a‎ و ‎b‎ وجود دارد هرگاه یکی توانی از دیگری باشد و آنرا با ‎p(g)‎ نمایش می دهیم‎.‎ واضح است که گراف توان جهت دار اطلاعات بیشتری نسبت به گراف توان غیرجهتدار درمورد گروهg ‎در اختیار ما قرار می دهد ولی هیچ یک اطلاعات کامل در مورد گروه g‎ نمی دهند. ‎در این پایان نامه یک ریختی گروه ها و گراف های توان را بررسی کرده و نشان خواهیم داد که اگر دو گروه متناهی دارای گراف های توان یک ریخت باشند دارای تعداد مساوی عناصر هم مرتبه می باشند. هم چنین نشان خواهیم داد تنها گروهی که خودریختی های آن با خودریختی های گراف توان آن برابر است گروه کلاین از مرتبه ‎4‎ می باشد. پس از بررسی ساختار گراف های توان با ارائه تعریف جدیدی از گراف های توان به بررسی مجدد این گراف ها می پردازیم. به این صورت که در تعریف گراف توان یک گروه متناهی, توان را عدد ثابت ‎2‎ در نظر گرفته و گراف های حاصل از آن مورد بحث قرار می گیرد. بررسی این گرافها برای اولین بار به آن پرداخته شده، قضایایی مرتبط با این موضوع و مثالهایی جهت تشریح مطلب بیان می شود.